Décoder un nombre binaire en calcul mental

Décoder un nombre binaire en calcul mental

Dans le quiz Addition des puissances de 2, vous devez additionner des nombres comme 128, 64, 32,16, etc. A quoi cela peut-il vous servir ? Vous avez peut-être vu sur ooxo des quiz proposant de « décoder » des nombres binaires écrits sous la forme 10011 ou 11011. Pour trouver la bonne réponse, vous devez additionner mentalement les nombres décimaux correspondant aux rangs des 1 dans le nombre binaire. Par exemple, 11 = (1 x 2) + (1 x 1) = 3 ; 110 = (1 x 4) + (1 x 2) = 6. C’est facile pour les petits nombres. Mais ça devient difficile pour les valeurs comme 256, 128, 64 ou 32.

Quiz : Addition des puissances de 2

Dans le quiz proposé, on affiche en décimal les nombres binaires écrits sur 9 bits (en théorie de 000000001 à 111111111). Mais les 9 cas triviaux suivant (qui correspondent pourtant à des nombres binaires) ont été supprimés :

  • 0 + 0 (nombre binaire 000000001)
  • 1 + 0 (nombre binaire 000000010)
  • 2 + 0 (nombre binaire 000000100)
  • 4 + 0 (nombre binaire 000001000)
  • 8 + 0 (nombre binaire 000010000)
  • 16 + 0 (nombre binaire 000010000)
  • 32 + 0 (nombre binaire 000100000)
  • 64 + 0 (nombre binaire 001000000)
  • 128 + 0 (nombre binaire 010000000)
  • 256 + 0 (nombre binaire 100000000)

 
Il ne reste que 502 opérations parmi les 511 possibles avec 9 bits. Si vous avez de la chance, vous trouverez dans vos 10 questions tirées au sort parmi les 502 des opérations comme (2 + 1), (4 + 1) ou (8 + 1). Mais vous rigolerez moins quand vous aurez 6 nombres de rangs non contigus à additionner.

Le quiz Addition des puissances de 2 constitue donc une étape pour vous entraîner avant d’abord un quiz plus difficile comme Convertir du binaire en décimal. L’addition des nombres de type « 2 puissance n » peut aussi être considérée comme un simple exercice intellectuel qui vous permettra de ne pas devenir gâteux trop vite !

A priori, additionner des nombres comme 256, 128 ou 64 peut sembler compliqué. Mais voici quelques astuces pour vous simplifier la tâche.

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Groupement de 2 nombres pour obtenir des dizaines

On peut chercher des groupements de nombres qui permettent d’obtenir un nombre décimal rond.

Exemples : 8 + 2 ou 6 + 4

Dans les additions du quiz, on simule le décodage d’un nombre écrit en binaire. Donc, chaque nombre décimal (128, 64, 32..) ne figure qu’une seule fois dans chaque addition. On retrouve dans le quiz un nombre limité de groupements :

  • 6 + 4 = 10
  • 8 + 2 = 10
  • 16 + 4 = 20
  • 32 + 8 = 40
  • 64 + 16 = 80
  • 128 + 2 = 130
  • 256 + 4 = 260

 
On ne trouvera jamais (4 + 4 + 2) ou (16 + 2 + 2).

Les nombres « qui vont bien » ne sont pas toujours voisins. Par exemple, pour (256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1), on peut repérer (128 + 32). Mais il est peut-être plus judicieux de grouper (128 + 2) pour éviter les erreurs de retenues dans plusieurs additions mentales simultanées.

Exemple de groupements : 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1, ce qui donne (256 + 4) + (128 + 2) + (32 +8) + 1 = 260 + 130 + 40 + 1 = (260 + 40) + 130 + 1 = 300 + 130 + 1 = 431

Vous pourrez tomber sur des cas plus faciles (64 + 16) ou plus difficiles (256 + 128 + 32 + 16 + 2 + 1), mais ils sont rares ! On est obligé de grouper (128 + 32), et l’on risque de faire des erreurs en ajoutant les autres nombres. Mais l’on peut remarquer que (16 + 2 + 1) = « presque 20 ». Donc, (128 + 32) + (16 + 2 + 1) + 256 = 160 + « presque 20 » + 256 = 180 + 256 – 1 = 436 – 1 = 435.

A vous d’inventer de nouvelles astuces en explorant toutes les opérations proposées dans ce quiz !

Autre groupement possible avec 3 nombres

On peut aussi grouper (16 + 2 + 1) comme on l’a vu dans l’exemple ci-dessus, pour considérer que c’est 20, avant de retrancher 1 tout à la fin. Si l’on trouve dans une même addition 128, 8 et 4, on peut directement voir « 120 + 8  + 8 + 4 » = 120 + 20 = 140.

Le jeu consiste à observer tous les chiffres qui composent l’addition et à essayer de les grouper par 2 ou 3 pour faire des sommes partielles.

Les habitués du calcul mental peuvent « retenir sur leurs doigts » en pliant par exemple un doigt de la main gauche pour soustraite 1 à la fin, ou un doigt de la main droite pour additionner  à la fin.

On peut obtenir « presque une dizaine » en faisant 128 + 1 = 129 =  presque 130.

Les petits malins chercheront parmi les 4 réponses celle qui « rime » avec la somme des unités de l’addition. Mais quelque petits pièges sont parfois tendus avec deux réponses qui « riment ». On est là pour s’exercer au calcul mental, pas pour trouver des échappatoires permettant d’éviter des efforts.

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Quelques sources d’infos utiles

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