Division euclidienne (entière)

Division euclidienne (entière)

La division entière (euclidienne)

Le mot « euclidienne » vient du nom du mathématicien grec de l’Antiquité nommé Euclide, qui explique le principe de cette division dans un traité intitulé Les Eléments. Quand on divise deux nombres entiers, on ne parvient pas souvent à un un résultat satisfaisant dans la vie courante. Par exemple, si l’on veut partager 7 bonbons entre 5 personnes, chacun aura 1 bonbon mais il en restera 2 qui ne seront pas attribués si l’on veut que les parts soient égales. C’est pour cette raison que les oeufs ont été pendant des siècles groupés par douzaine. En effet, 12 peut être divisé par 6, par 4, par 3 et par 2. On pouvait séparer les 12 oeufs en plusieurs tas égaux (pour satisfaire tout le monde ou pour ajuster le prix) sans savoir compter et sans avoir appris par coeur des tables de multiplication. Vous connaissez sans doute l’expression « une demi-douzaine » (pour dire « 6 »).

La division euclidienne (ou entière) considère qu’il existe un dividende (= la quantité qui doit être divisée), un diviseur (= le nombre de parts égales à faire avec cette quantité), un quotient (= le nombre d’objets obtenu par chacun dans un partage équitable), et un reste (= ce qui ne peut pas être partagé pour obtenir des parts égales). On ne va pas casser un oeuf en 2 pour partager une douzaine d’oeufs entre 8 personnes. On n’utilise que des « entiers » (objets entiers, nombres entiers sans virgule). C’est pour cette raison que la division euclidienne est aussi appelée « division entière ».

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Quiz sur la division euclidienne

Dans le quiz, vous devrez effectuer mentalement les divisions pour obtenir le reste. On ne vous demande pas le quotient.

Le reste d’une division par 2 ne peut être égal qu’à 0 ou 1. En effet, s’il reste 2, cela signifie qu’il est encore possible de partager ce reste (2 x 1).

Le reste d’une division par 3 ne peut être égal qu’à 0, 1 ou 2. En effet, s’il reste 3, cela signifie qu’il est encore possible de partager ce reste (3 x 1).

Le reste d’une division par 4 ne peut être égal qu’à 0, 1, 2 ou 3. En effet, s’il reste 4, cela signifie qu’il est encore possible de partager ce reste (4 x 1).

Donc, vous aurez 4 réponses possibles dans ce quiz (avec une seule bonne réponse à trouver), sauf dans le cas des divisions par 2 et 3.

Quiz : Reste d'une division euclidienne

Quelques exemples de questions du quiz

Quel est le reste de 107 divisé par 2 ?

Lorsque l’on divise 107 par 2, on pose : 107/2 = 53. Mais (53 x 2) = 106. Le reste est donc (107 – 106) = 1. La bonne réponse au quiz est 1.

Quel est le reste de 110 divisé par 3 ?

Lorsque l’on divise 110 par 3, on pose : 110/3 = 36. Mais (36 x 3) = 108. Le reste est donc (110 – 108) = 2. La bonne réponse au quiz est 2.

Quel est le reste de 58 divisé par 9 ?

Lorsque l’on divise 58 par 9, on pose : 58/9 = 6. Mais (6 x 9) = 54. Le reste est donc (58 – 54) = 4. La bonne réponse au quiz est 4.

Quelques cas particuliers

Quel est le reste de 1 divisé par 2 ? Lorsque l’on divise 1 par 2, on obtient « 0 fois » (ou 0 « par part » si l’on considère que l’on devait distribuer 1 objet entre 2 personnes). Il nous reste donc 1 puisque l’on n’a rien « distribué ». La bonne réponse est 1. Si la division n’avait pas été euclidienne (ou « entière »), on aurait obtenu comme résultat « 1/2 » (ou 0,5) avec un reste nul.

Quel est le reste de 133 divisé par 10 ? Lorsque l’on divise 133 par 10, on pose 133/10 = 13. Et comme 13 x 10 = 130, le reste est donc 133 – 130 = 3. La bonne réponse est 3.

On remarque que pour toutes les divisions par 10, le reste entier est le chiffre des unités (ex : 3 pour 133, 5 pour 25). Dans le système décimal, la division par 10 se fait en plaçant une virgule pour séparer le chiffre des unités. On écrit donc 133/10 = 13,3 ou 25/10 = 2,5.

Les nombres pairs sont (par définition) divisibles par 2. Donc, le reste de leur division par 2 est toujours 0.

Dans la division pas 2, les nombres impairs (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…) ont toujours un reste égal à 1.

Vous pourrez observer d’autres particularités qui vous éviteront d’avoir à faire des calculs compliqués. Par exemple, les multiples de 5 se terminent tous par 0 ou 5. Donc, si vous trouvez un tel nombre dans le quiz, vous saurez immédiatement que le reste de la division par 5 est 0.

Si vous connaissez par coeur vos tables de multiplication, vous repérerez facilement certains dividendes. Exemple : 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84 qui sont des multiples de 7, et qui donneront donc un reste égal à 0 dans la division par 7.

Dans le quiz, il n’y a pas de divisions par 1 qui auraient été trop faciles (et ennuyeuses, à force de les revoir).

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La division décimale

Lorsque vous aurez bien compris le principe de la division entière (euclidienne), vous pourrez aborder la division décimale. Si l’on veut partager 1 litre d’huile ou 1 kilo de sel entre 3, 4, 5 ou 6 personnes, on pourra toujours faire des parts égales en versant la même quantité pour chacun. Dans ce cas, on utilisera des ombres décimaux si l’on veut mesurer les quantités exactes (pour calculer le prix). Pour estimer la quantité dans chaque part, on utilisera des nombres décimaux (avec de chiffres après la virgule) la plupart du temps. Par exemple, 15 divisé par 6 ne donnera pas « 2 et reste 3 », mais 2,5 (ou « deux et demi »).

Dans la vie courante, on pourra écrire : 0,5 kg ou 500 grammes au lieu de « un demi kg » (ou « une livre« ). Ou encore (pour les liquides) : 0,25 litre, 25 centilitres ou 250 millilitres (au lieu de « un quart de litre »). Un centilitre = 1 centième de litre (donc il y en a 100 dans un litre). 1 millilitre = 1 millième de litre (donc il y en a 1000 dans un litre).

Pour en savoir plus :

Tutos YouTube sur la division euclidienne

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